Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \sin (3 π t) d t$

Etapa 1

Deixe $u = 3 π t$ . Depois, $d u = 3 π d t$ , então, $\frac{1}{3 π} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 π t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 π t$ .

$\frac{d}{d t} [3 π t]$

Etapa 1.1.2

Como $3 π$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 π t$ em relação a $t$ é $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 π \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 π \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 π$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 3 π t$ .

$u_{lower} = 3 π \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $3 π \cdot 0$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$u_{lower} = 0 π$

Etapa 1.3.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 3 π t$ .

$u_{upper} = 3 π \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 π$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3 π} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{3 π}$ .

$\int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3 π} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3 π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3 π}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3 π} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3 π} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $3 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + \cos (0))$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (π) + 1)$

Etapa 7.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{1}{3 π} (- - \cos (0) + 1)$

Etapa 7.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- - 1 + 1)$

Etapa 7.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3 π} (1 + 1)$

Etapa 7.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3 π} \cdot 2$

Etapa 7.7

Combine $\frac{1}{3 π}$ e $2$ .

$\frac{2}{3 π}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3 π}$

Forma decimal:

$0.21220659 \dots$