Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

Etapa 2

Deixe $u = 0.7 (10 - t)$ . Depois, $d u = - 0.7 d t$ , então, $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 0.7 (10 - t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $0.7 (10 - t)$ .

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

Etapa 2.1.2

Como $0.7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.7 (10 - t)$ em relação a $t$ é $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

Etapa 2.1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 2.1.4

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10$ em relação a $t$ é $0$ .

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 2.1.6

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.1.7

Multiplique $- 1$ por $0.7$ .

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.7 \cdot 1$

Etapa 2.1.9

Multiplique $- 0.7$ por $1$ .

$- 0.7$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $0$ de $10$ .

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

Etapa 2.3.2

Multiplique $0.7$ por $10$ .

$u_{lower} = 7$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

Etapa 2.5.2

Subtraia $10$ de $10$ .

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $0.7$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

Etapa 3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.7}$ .

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{0.7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.7}$ para fora da integral.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{0.7}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Etapa 7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $e^{u}$ em $0$ e em $7$ .

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

Etapa 9.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Divida $3$ por $0.7$ .

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $4.\overline{285714}$ .

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Etapa 10.3

Multiplique $- 4.\overline{285714}$ por $1 - e^{7}$ .

$4695.57067897$

Etapa 11