Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{8} 8 e^{- x} d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{0}^{8} e^{- x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{0}^{- 8} - e^{u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 (- \int_{0}^{- 8} e^{u} d u)$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- 8 (e^{u}]_{0}^{- 8})$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $e^{u}$ em $- 8$ e em $0$ .

$- 8 ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 8 e^{- 8} - 8 \cdot - 1$

Etapa 7.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$- 8 e^{- 8} + 8$

Etapa 7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{8}} + 8$

Etapa 7.3.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{- 8}{e^{8}} + 8$

Etapa 7.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Forma decimal:

$7.99731629 \dots$

Etapa 9