Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Depois, $d u = - \frac{3}{4} d x$ , então, $- \frac{4}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 - 3 x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Etapa 1.1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

Etapa 1.1.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $2 - 3 \cdot 0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- 3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

Etapa 1.3.1.4

Reordene os termos.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

Etapa 1.3.1.5

Fatore $2$ de $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

Etapa 1.3.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

Etapa 1.3.1.6.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.3.1.6.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

Etapa 1.3.2.2

Some $- 1$ e $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2 - 3 \cdot 8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

Etapa 1.5.1.2

Fatore $- 1$ de $- 3 \cdot 8$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

Etapa 1.5.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

Etapa 1.5.1.4

Reordene os termos.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

Etapa 1.5.1.5

Fatore $2$ de $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

Etapa 1.5.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

Etapa 1.5.1.6.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.1.6.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $1$ de $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

Etapa 1.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

Etapa 2.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{4}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

Etapa 2.4

Combine $\frac{4}{3}$ e $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Etapa 4

Como $\frac{4}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{4}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $- \frac{11}{2}$ e em $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $- 1$ de $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra do produto a $- (\frac{11}{2})$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 6.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 7.1.2

Eleve $11$ à potência de $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 7.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 7.1.4

Multiplique $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 7.1.4.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Etapa 7.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Etapa 7.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

Etapa 7.1.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

Etapa 7.1.8

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.8.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

Etapa 7.1.8.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

Etapa 7.3

Subtraia $1$ de $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Etapa 7.4.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Etapa 7.4.3

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Etapa 7.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Etapa 7.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Fatore $3$ de $- 1332$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

Etapa 7.5.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{- 444}{6}$

Etapa 7.6

Divida $- 444$ por $6$ .

$- - 74$

Etapa 7.7

Multiplique $- 1$ por $- 74$ .

$74$

Etapa 8