Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ por $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 4.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Etapa 4.3

Subtraia $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Etapa 4.5.2

Subtraia $8$ de $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $x (- e^{1 - x})$ em $8$ e em $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Etapa 7.2

Avalie $e^{u}$ em $- 7$ e em $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.2

Subtraia $8$ de $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.5

Some $1$ e $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.6

Simplifique.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.8

Multiplique $0$ por $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.9

Some $- 8 e^{- 7}$ e $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Etapa 7.3.10

Simplifique.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

Etapa 8

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Etapa 8.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Etapa 8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Etapa 8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

Etapa 8.5

Multiplique $- - e$ .

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Etapa 8.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

Etapa 8.5.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Forma decimal:

$2.71007489 \dots$

Etapa 10