Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

Etapa 1

Combine $t$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

Etapa 2

Como $10$ é constante com relação a $t$ , mova $10$ para fora da integral.

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

Etapa 3

Deixe $u = - \frac{t}{2}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{2} d t$ , então, $- 2 d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = - \frac{t}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Etapa 3.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{t}{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida $6$ por $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

Etapa 5

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

Etapa 6

Multiplique $- 2$ por $10$ .

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Etapa 7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $e^{u}$ em $- 3$ e em $0$ .

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

Etapa 9.2

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$- 20 e^{- 3} + 20$

Etapa 9.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

Etapa 9.3.2

Combine $- 20$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

Etapa 9.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Forma decimal:

$19.00425863 \dots$

Etapa 11