Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Etapa 3

Como $\frac{3}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{4}$ para fora da integral.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Etapa 4

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 4.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Etapa 4.5

Some $7$ e $1$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{4}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ em $7$ e em $0$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ em $8$ e em $1$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Some $7$ e $1$ .

$\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.6

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.7

Multiplique $7$ por $48$ .

$\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.8

Cancele o fator comum de $336$ e $4$ .

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Etapa 6.3.8.1

Fatore $4$ de $336$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.8.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.8.2.4

Divida $84$ por $1$ .

$84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.9

Some $0$ e $1$ .

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$84 - \frac{0 \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.12

Multiplique $0$ por $3$ .

$84 - \frac{0}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.13

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

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Etapa 6.3.13.1

Fatore $4$ de $0$ .

$84 - \frac{4 (0)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.13.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$84 - \frac{0}{1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.13.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$84 - 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.14

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$84 + 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.15

Some $84$ e $0$ .

$84 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.16

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.17

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.18

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.18.1

Cancele o fator comum.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.18.2

Reescreva a expressão.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.19

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 128 - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.20

Combine $\frac{3}{7}$ e $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.21

Multiplique $3$ por $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Etapa 6.3.22

Um elevado a qualquer potência é um.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1)$

Etapa 6.3.23

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Etapa 6.3.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{384 - 3}{7}$

Etapa 6.3.25

Subtraia $3$ de $384$ .

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{381}{7}$

Etapa 6.3.26

Multiplique $\frac{381}{7}$ por $\frac{3}{4}$ .

$84 - \frac{381 \cdot 3}{7 \cdot 4}$

Etapa 6.3.27

Multiplique $381$ por $3$ .

$84 - \frac{1143}{7 \cdot 4}$

Etapa 6.3.28

Multiplique $7$ por $4$ .

$84 - \frac{1143}{28}$

Etapa 6.3.29

Para escrever $84$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{28}{28}$ .

$84 \cdot \frac{28}{28} - \frac{1143}{28}$

Etapa 6.3.30

Combine $84$ e $\frac{28}{28}$ .

$\frac{84 \cdot 28}{28} - \frac{1143}{28}$

Etapa 6.3.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{84 \cdot 28 - 1143}{28}$

Etapa 6.3.32

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.32.1

Multiplique $84$ por $28$ .

$\frac{2352 - 1143}{28}$

Etapa 6.3.32.2

Subtraia $1143$ de $2352$ .

$\frac{1209}{28}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1209}{28}$

Forma decimal:

$43.17857142 \dots$

Forma de número misto:

$43 \frac{5}{28}$

Etapa 8