Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 2

Como $0.5$ é constante com relação a $x$ , mova $0.5$ para fora da integral.

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $9$ .

$u_{upper} = 18$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 6

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 8

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $9$ e em $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Etapa 10.2

Avalie $- \cos (u)$ em $18$ e em $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

Etapa 10.3

Avalie $3 x$ em $9$ e em $0$ .

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.5

Some $\frac{81}{2}$ e $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.6

Combine $0.5$ e $\frac{81}{2}$ .

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.7

Multiplique $0.5$ por $81$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.8

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

Etapa 10.4.9

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

Etapa 10.4.10

Some $27$ e $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

Etapa 10.4.11

Para escrever $27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.4.12

Combine $27$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Etapa 10.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

Etapa 10.4.14

Multiplique $27$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

Etapa 10.4.15

Some $40.5$ e $54$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

Etapa 11

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Avalie $\cos (18)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $0.6603167$ .

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Etapa 12.3

Some $- 0.6603167$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

Etapa 12.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $0.33968329$ .

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

Etapa 12.5

Divida $0.33968329$ por $2$ .

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

Etapa 12.6

Divida $94.5$ por $2$ .

$0.16984164 + 47.25$

Etapa 12.7

Some $0.16984164$ e $47.25$ .

$47.41984164$