Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Etapa 1

Expanda ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.5

Reordene $\sin (x)$ e $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.7

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.8

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Etapa 1.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Etapa 1.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 1.12

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Etapa 1.13

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Etapa 5

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Etapa 11

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 11.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 11.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 11.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 11.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 11.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 11.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 12

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Etapa 14

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Etapa 15

Substitua e simplifique.

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Etapa 15.1

Avalie $x$ em $π$ e em $0$ .

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Etapa 15.2

Avalie $- \cos (x)$ em $π$ e em $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Etapa 15.3

Avalie $x$ em $π$ e em $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Etapa 15.4

Avalie $\sin (u)$ em $2 π$ e em $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Etapa 15.5

Simplifique.

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Etapa 15.5.1

Some $π$ e $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Etapa 15.5.2

Some $π$ e $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Etapa 16.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Etapa 16.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Etapa 16.4

Some $\sin (2 π)$ e $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Etapa 16.5

Combine $\sin (2 π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 17.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 17.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 17.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 17.5

Some $1$ e $1$ .

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 17.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Etapa 17.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.7.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Etapa 17.7.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Etapa 17.8

Divida $0$ por $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

Etapa 17.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Etapa 17.10

Some $π$ e $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

Etapa 17.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$π + 4 + \frac{π}{2}$

Etapa 17.12

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Etapa 17.13

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Etapa 17.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

Etapa 17.15

Some $π \cdot 2$ e $π$ .

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Etapa 17.15.1

Reordene $π$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

Etapa 17.15.2

Some $2 \cdot π$ e $π$ .

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

Etapa 18

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 π}{2} + 4$

Forma decimal:

$8.71238898 \dots$