Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{6} \sqrt{2 x + 4} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x + 4$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x + 4$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 4$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x + 4$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 6 + 4$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$u_{upper} = 12 + 4$

Etapa 1.5.2

Some $12$ e $4$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{16} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{16} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{16} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{16}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $16$ e em $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Etapa 6.2.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Etapa 6.2.11

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Etapa 6.2.12

Combine $- 8$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Etapa 6.2.13

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} + \frac{- 16}{3})$

Etapa 6.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{16}{3})$

Etapa 6.2.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{128 - 16}{3}$

Etapa 6.2.16

Subtraia $16$ de $128$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{112}{3}$

Etapa 6.2.17

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{112}{3}$ .

$\frac{112}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2.18

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{112}{6}$

Etapa 6.2.19

Cancele o fator comum de $112$ e $6$ .

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Etapa 6.2.19.1

Fatore $2$ de $112$ .

$\frac{2 (56)}{6}$

Etapa 6.2.19.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.19.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2.19.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2.19.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{56}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{56}{3}$

Forma decimal:

$18.\overline{6}$

Forma de número misto:

$18 \frac{2}{3}$

Etapa 8