Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{3} m^{2} {(4 m^{3} + 2)}^{3} d m$

Etapa 1

Deixe $u = 4 m^{3} + 2$ . Depois, $d u = 12 m^{2} d m$ , então, $\frac{1}{12} d u = m^{2} d m$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 4 m^{3} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d m}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $4 m^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3} + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 m^{3} + 2$ com relação a $m$ é $\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d m} [4 m^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $m$ , a derivada de $4 m^{3}$ em relação a $m$ é $4 \frac{d}{d m} [m^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d m} [m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d m} [m^{n}]$ é $n m^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 m^{2}) + \frac{d}{d m} [2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 m^{2} + \frac{d}{d m} [2]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $m$ , a derivada de $2$ em relação a $m$ é $0$ .

$12 m^{2} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $12 m^{2}$ e $0$ .

$12 m^{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $m$ em $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{3} + 2$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 2$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $2$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $m$ em $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3^{3} + 2$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 27 + 2$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$u_{upper} = 108 + 2$

Etapa 1.5.2

Some $108$ e $2$ .

$u_{upper} = 110$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 110$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{110} u^{3} \frac{1}{12} d u$

Etapa 2

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int_{2}^{110} \frac{u^{3}}{12} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$\frac{1}{12} \int_{2}^{110} u^{3} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{110}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{4} u^{4}$ em $110$ e em $2$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{4} \cdot 110^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $110$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{4} \cdot 146410000 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{146410000}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $146410000$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $4$ de $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} (\frac{36602500}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2.3.2.4

Divida $36602500$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Etapa 5.2.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 16 (\frac{1}{4}))$

Etapa 5.2.6

Combine $- 16$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 16}{4})$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $- 16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Fatore $4$ de $- 16$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

Etapa 5.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

Etapa 5.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

Etapa 5.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 4}{1})$

Etapa 5.2.7.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 4)$

Etapa 5.2.8

Subtraia $4$ de $36602500$ .

$\frac{1}{12} \cdot 36602496$

Etapa 5.2.9

Combine $\frac{1}{12}$ e $36602496$ .

$\frac{36602496}{12}$

Etapa 5.2.10

Cancele o fator comum de $36602496$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.1

Fatore $12$ de $36602496$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12}$

Etapa 5.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 (1)}$

Etapa 5.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 \cdot 1}$

Etapa 5.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3050208}{1}$

Etapa 5.2.10.2.4

Divida $3050208$ por $1$ .

$3050208$

Etapa 6