Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{4} \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Etapa 1

Deixe $y = 5 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d y = 5 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ é positivo.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $25$ de $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $25$ de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $25$ de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $25 \cos^{2} (t)$ como ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 3

Como $25$ é constante com relação a $t$ , mova $25$ para fora da integral.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 9.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 9.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Etapa 9.5

Multiplique $2$ por $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Etapa 9.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Etapa 9.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 10

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) d u)$

Etapa 12

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $t$ em $0.92729521$ e em $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Etapa 13.2

Avalie $\sin (u)$ em $1.85459043$ e em $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0)))$

Etapa 13.3

Some $0.92729521$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0)))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0))$

Etapa 14.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0))$

Etapa 14.3

Some $\sin (1.85459043)$ e $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043))$

Etapa 14.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2})$

Etapa 14.5

Some $0.92729521$ e $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521$

Etapa 14.6

Combine $\frac{25}{2}$ e $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2}$

Etapa 14.7

Multiplique $25$ por $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2}$

Etapa 15

Divida $35.18238045$ por $2$ .

$17.59119022$

Etapa 16