Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Depois, $d u_{1} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 (2 π)$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$u_{upper} = 8 π$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8 π$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3

Combine ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} \frac{{(3 + \sin (u_{1}))}^{2}}{4} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Etapa 5.2

Expanda ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reescreva ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ como $(3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1}))$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} (3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 (3 + \sin (u_{1})) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \cdot 3 + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.5

Reordene $\sin (u_{1})$ e $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \cdot \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.7

Eleve $\sin (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.8

Eleve $\sin (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin^{1} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + {\sin (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Etapa 5.2.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5.2.11

Some $3 \sin (u_{1})$ e $3 \sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 6 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{8 π} 9 d u_{1} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Como $6$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 \int_{0}^{8 π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

A integral de $\sin (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{8 π} d u_{1} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{8 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Etapa 15

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 15.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 15.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 15.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 15.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 15.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 15.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (8 π)$

Etapa 15.5

Multiplique $8$ por $2$ .

$u_{upper} = 16 π$

Etapa 15.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16 π$

Etapa 15.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Etapa 16

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Etapa 17

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) d u_{2})))$

Etapa 18

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Etapa 19

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Avalie $9 u_{1}$ em $8 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} ((9 (8 π)) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Etapa 19.2

Avalie $- \cos (u_{1})$ em $8 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Etapa 19.3

Avalie $u_{1}$ em $8 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Etapa 19.4

Avalie $\sin (u_{2})$ em $16 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Etapa 19.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.5.1

Multiplique $8$ por $9$ .

$\frac{1}{8} (72 π - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Etapa 19.5.2

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Etapa 19.5.3

Some $72 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Etapa 19.5.4

Some $8 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Etapa 20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Etapa 20.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - 0)))$

Etapa 20.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) + 0)))$

Etapa 20.4

Some $\sin (16 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} \sin (16 π)))$

Etapa 20.5

Combine $\sin (16 π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Etapa 21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Etapa 21.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 \cdot 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Etapa 21.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Etapa 21.4

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Etapa 21.5

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Etapa 21.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.6.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (0)}{2}))$

Etapa 21.6.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{0}{2}))$

Etapa 21.7

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - 0))$

Etapa 21.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π + 0))$

Etapa 21.9

Some $8 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π))$

Etapa 21.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.10.1

Fatore $2$ de $8 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Etapa 21.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Etapa 21.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 4 π)$

Etapa 21.11

Some $72 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 4 π)$

Etapa 21.12

Some $72 π$ e $4 π$ .

$\frac{1}{8} (76 π)$

Etapa 21.13

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.13.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (76 π)$

Etapa 21.13.2

Fatore $4$ de $76 π$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (19 π))$

Etapa 21.13.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 (19 π))$

Etapa 21.13.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (19 π)$

Etapa 21.14

Combine $19$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{19}{2} π$

Etapa 21.15

Combine $\frac{19}{2}$ e $π$ .

$\frac{19 π}{2}$

Etapa 22

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{19 π}{2}$

Forma decimal:

$29.84513020 \dots$