Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $1$ e em $1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Etapa 5.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1 - 1}{3}$

Etapa 5.2.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$- \frac{0}{3}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 5.2.5.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- \frac{3 (0)}{3}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{0}{1}$

Etapa 5.2.5.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- 0$

Etapa 5.2.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$