Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} x (x^{2} - 1) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{3} u \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $u$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{3} \frac{u}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{3} u d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{3}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $3$ e em $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

Etapa 5.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 5.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1}{2}$

Etapa 5.2.6

Subtraia $1$ de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{2}$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2}$

Etapa 5.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Etapa 5.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

Etapa 5.2.7.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

Etapa 5.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2}$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 5.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1}$

Etapa 5.2.9.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6