Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Etapa 1.5.2

Some $4$ e $4$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ em $8$ e em $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

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Etapa 6.2.7.1

Fatore $4$ de $48$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.8

Combine $4^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

Etapa 6.2.9

Mova $3$ para a esquerda de $4^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

Etapa 6.2.10

Mova $4^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

Etapa 6.2.11

Multiplique $4^{\frac{4}{3}}$ por $4^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.11.1

Mova $4^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

Etapa 6.2.11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

Etapa 6.2.11.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Etapa 6.2.11.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Etapa 6.2.11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

Etapa 6.2.11.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.11.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

Etapa 6.2.11.6.2

Some $- 3$ e $4$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 6.2.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ .

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Etapa 7.3.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

Etapa 7.3.2

Combine $\frac{- 3}{2}$ e $4^{\frac{1}{3}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Forma decimal:

$3.61889842 \dots$

Etapa 9