Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

Etapa 1

Como $18$ é constante com relação a $x$ , mova $18$ para fora da integral.

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x + 1$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 2.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $6$ e $1$ .

$u_{upper} = 7$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Combine $u^{5}$ e $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $18$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Etapa 5.2.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $\frac{u^{6}}{6}$ em $7$ e em $1$ .

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Eleve $7$ à potência de $6$ .

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

Etapa 8.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

Etapa 8.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

Etapa 8.2.4

Subtraia $1$ de $117649$ .

$6 (\frac{117648}{6})$

Etapa 8.2.5

Cancele o fator comum de $117648$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Fatore $6$ de $117648$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

Etapa 8.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

Etapa 8.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

Etapa 8.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{19608}{1})$

Etapa 8.2.5.2.4

Divida $19608$ por $1$ .

$6 \cdot 19608$

Etapa 8.2.6

Multiplique $6$ por $19608$ .

$117648$

Etapa 9