Cálculo Exemplos

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 3

Deixe $u = π x$ . Depois, $d u = π d x$ , então, $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = π x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 3.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Etapa 3.3

Multiplique $π$ por $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Etapa 3.5

Multiplique $π$ por $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 4

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{π}$ e $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 7

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Etapa 8

Multiplique $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Etapa 9.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Etapa 11

Como $- 12$ é constante com relação a $x$ , mova $- 12$ para fora da integral.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Etapa 13

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Etapa 15

Substitua e simplifique.

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Etapa 15.1

Avalie $\sin (u)$ em $1.57079632$ e em $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Etapa 15.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $0.5$ e em $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Etapa 15.3

Avalie $3 x$ em $0.5$ e em $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4

Simplifique.

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Etapa 15.4.1

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.5

Multiplique $\frac{0.125}{3}$ por $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.7

Some $0.125$ e $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.8

Combine $- 12$ e $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.9

Multiplique $- 12$ por $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.10

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 15.4.10.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.4.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.10.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.11

Multiplique $3$ por $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Etapa 15.4.12

Multiplique $- 3$ por $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Etapa 15.4.13

Some $1.5$ e $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Etapa 15.4.14

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Etapa 16.1.2

Combine $\frac{4}{π}$ e $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Etapa 16.1.3

Combine $\frac{4}{π}$ e $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Etapa 16.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.4.1

Avalie $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Etapa 16.1.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Etapa 16.1.4.3

Avalie $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Etapa 16.1.4.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Etapa 16.1.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Etapa 16.1.4.6

Multiplique $- - \frac{4}{π}$ .

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Etapa 16.1.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Etapa 16.1.4.6.2

Multiplique $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Etapa 16.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Etapa 16.1.6

Some $4$ e $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Etapa 16.2

Some $\frac{8}{π}$ e $2$ .

$4.54647908$