Cálculo Exemplos

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{3}$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{3}$ .

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

Etapa 1.3

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$u_{lower} = 0.125$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Etapa 1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $\cot (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\cot (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| \sin (u) |)$ em $1$ e em $0.125$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Forma decimal:

$- 0.65541022 \dots$