Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ como $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Etapa 2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 3

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Use as regras logarítmicas para mover $4$ para fora do expoente.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Etapa 3.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $4$ e em $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.2.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 6.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Etapa 6.2.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 6.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 6.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 6.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Etapa 6.2.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$3 (8 - 0)$

Etapa 6.2.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 (8 + 0)$

Etapa 6.2.6

Some $8$ e $0$ .

$3 \cdot 8$

Etapa 6.2.7

Multiplique $3$ por $8$ .

$24$