Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Use as regras logarítmicas para mover $2$ para fora do expoente.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Etapa 1.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{2} u d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{2} u^{2}$ em $2$ e em $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 3.2.5

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.6

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 + 0$

Etapa 3.2.7

Some $2$ e $0$ .

$2$