Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} 2 \sin^{4} (x) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{π} \sin^{4} (x) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \int_{0}^{π} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$2 \int_{0}^{π} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Etapa 3

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 4.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 4.6

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Etapa 6.1.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ como um produto.

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Etapa 6.3

Expanda ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.7

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.8

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.9

Mova $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.10

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.11

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.12

Mova os parênteses.

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.13

Mova $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.14

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.15

Reordene $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.16

Mova $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.17

Mova $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.18

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Etapa 6.3.19

Reordene $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

Etapa 6.3.20

Mova os parênteses.

Etapa 6.3.21

Mova $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.22

Mova $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.23

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.24

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.25

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.26

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.27

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.28

Combine $- \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.29

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.30

Combine $\frac{1}{4}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.31

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.32

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.33

Combine $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.34

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.35

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.36

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.37

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.38

Multiplique $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.39

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.3.40

Combine $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.41

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.42

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.43

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.44

Some $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.45

Subtraia $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ de $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.46

Combine $- 2$ e $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.47

Reordene $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.3.48

Reordene $\frac{1}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Etapa 6.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2 \cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Etapa 6.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Etapa 6.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 6.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 9

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 12

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 14

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 14.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 14.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 14.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 14.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 14.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 14.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 14.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 14.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Etapa 14.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Etapa 14.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Etapa 14.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 15

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 16

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 17

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 18

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 19

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 20

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 21

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Etapa 22

Substitua e simplifique.

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Etapa 22.1

Avalie $u_{1}$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Etapa 22.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $4 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Etapa 22.3

Avalie $\frac{1}{4} u_{1}$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Etapa 22.4

Avalie $\sin (u_{1})$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5

Simplifique.

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Etapa 22.5.1

Some $2 π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2}{4} π - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.3

Combine $\frac{2}{4}$ e $π$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 22.5.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 (π)}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 22.5.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.5

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.6

Multiplique $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 22.5.7

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Etapa 23.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Etapa 23.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Etapa 23.4

Some $\sin (4 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Etapa 23.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (4 π)$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Etapa 23.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Etapa 23.7

Some $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 π)$

Etapa 23.8

Combine $\sin (2 π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2}$

Etapa 23.9

Para escrever $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 23.10

Combine $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 23.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2 - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 23.12

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\frac{2}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 23.13

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

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Etapa 23.13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (1)}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 23.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 23.13.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 23.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 23.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.1.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (0)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{0}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.1.2

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + 0) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.2

Some $2 π$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 24.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.3.2

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (π)) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{2} π - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\frac{π}{2} - 0}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{\frac{π}{2} + 0}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.8

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.10

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 24.10.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Etapa 24.11

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 24.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 24.12.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 24.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Etapa 24.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Etapa 24.14

Some $π$ e $π \cdot 2$ .

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Etapa 24.14.1

Reordene $π$ e $2$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Etapa 24.14.2

Some $π$ e $2 \cdot π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 25

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 π}{4}$

Forma decimal:

$2.35619449 \dots$