Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Etapa 2

Aplique a regra da constante.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Etapa 5

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1.1

Avalie $x$ em $π$ e em $0$ .

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Etapa 6.1.2

Avalie $x \sin (x)$ em $π$ e em $0$ .

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Etapa 6.1.3

Avalie $- \cos (x)$ em $π$ e em $0$ .

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

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Etapa 6.1.4.1

Some $π$ e $0$ .

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Etapa 6.1.4.3

Some $π \sin (π)$ e $0$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Etapa 6.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

Etapa 6.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

Etapa 6.3.3

Multiplique $π$ por $0$ .

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

Etapa 6.3.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

Etapa 6.3.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Etapa 6.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

Etapa 6.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$π - (0 - (1 + 1))$

Etapa 6.3.8

Some $1$ e $1$ .

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

Etapa 6.3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$π - (0 - 2)$

Etapa 6.3.10

Subtraia $2$ de $0$ .

$π - - 2$

Etapa 6.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$π + 2$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$π + 2$

Forma decimal:

$5.14159265 \dots$