Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 10.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 10.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Etapa 10.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Etapa 10.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Etapa 10.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 11

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 13

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $u_{1}$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Etapa 14.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $4 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

Etapa 14.3

Some $2 π$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

Etapa 15.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

Etapa 15.3

Some $\sin (4 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

Etapa 15.4

Combine $\sin (4 π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

Etapa 16.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

Etapa 16.2

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

Etapa 16.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

Etapa 16.4

Some $2 π$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π)$

Etapa 16.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

Etapa 16.5.2

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

Etapa 16.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

Etapa 16.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} π$

Etapa 16.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$