Cálculo Exemplos

$\ln (x^{4} + 27)$

Etapa 1

Escreva $\ln (x^{4} + 27)$ como uma função.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 2.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 2.1.2.3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Etapa 2.1.2.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Etapa 2.1.2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Etapa 2.1.2.4.3

Combine $\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.5

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.3

Some $3$ e $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Combine $4$ e $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.4.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4.1.1.3

Some $2$ e $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4.1.3

Multiplique $3$ por $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4.1.4

Multiplique $81$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4.2

Subtraia $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Etapa 3.3.1.1.2

Fatore $- 4 x^{2}$ de $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Etapa 3.3.1.1.3

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Etapa 3.3.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Etapa 3.3.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Etapa 3.3.1.5.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Etapa 3.3.1.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 3.3.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3.3.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.3.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.4

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 3.3.4.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 3.3.4.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 3.3.4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 3.3.4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 3.3.4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 3.3.4.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.3.4.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 3.3.4.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 3.3.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 3.3.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 3.3.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 3.3.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.3.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.3.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.3.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 27)$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $27$ .

$f (0) = \ln (27)$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ é $(0, \ln (27))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, \ln (27))$

Etapa 4.3

Substitua $- 3$ em $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

Etapa 4.3.2.2

Some $81$ e $27$ .

$f (- 3) = \ln (108)$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 3$ em $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ é $(- 3, \ln (108))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 3, \ln (108))$

Etapa 4.5

Substitua $3$ em $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

Etapa 4.5.2.2

Some $81$ e $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

Etapa 4.5.2.3

A resposta final é $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $3$ em $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ é $(3, \ln (108))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(3, \ln (108))$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.1$ na expressão.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3.1$ à potência de $6$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $887.503681$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 3.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $324$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.5

Some $- 3550.014724$ e $3113.64$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 3.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $92.3521$ e $27$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $119.3521$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 436.374724$ por $14244.92377441$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Etapa 6.3

Em $- 3.1$ , a segunda derivada é $- 0.0306337$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.2

Fatore $4$ de $64$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Reescreva $- 1 (\frac{729}{16})$ como $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.10

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.13

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.13.1

Fatore $4$ de $324$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.14

Multiplique $81$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.15

Para escrever $729$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.16

Combine $729$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.18.1

Multiplique $729$ por $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.18.2

Some $- 729$ e $11664$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.6

Para escrever $27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.7

Combine $27$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.9.1

Multiplique $27$ por $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.9.2

Some $81$ e $432$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.10

Aplique a regra do produto a $\frac{513}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Etapa 7.2.2.11

Eleve $513$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Etapa 7.2.2.12

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Etapa 7.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $729$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Fatore $729$ de $10935$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Etapa 7.2.4.2

Fatore $729$ de $263169$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Etapa 7.2.4.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Etapa 7.2.4.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Etapa 7.2.5

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Fatore $16$ de $256$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Etapa 7.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Etapa 7.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Etapa 7.2.6

Combine $15$ e $\frac{16}{361}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Etapa 7.2.7

Multiplique $15$ por $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Etapa 7.2.8

A resposta final é $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Etapa 7.3

Em $- \frac{3}{2}$ , a segunda derivada é $0.66481994$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 3, 0)$ .

Acréscimo em $(- 3, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4.2

Fatore $4$ de $64$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.5

Reescreva $- 1 (\frac{729}{16})$ como $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.9.1

Fatore $4$ de $324$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9.2

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9.3

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.10

Multiplique $81$ por $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.11

Para escrever $729$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.12

Combine $729$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.14.1

Multiplique $729$ por $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.14.2

Some $- 729$ e $11664$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Para escrever $27$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.5

Combine $27$ e $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.7.1

Multiplique $27$ por $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.7.2

Some $81$ e $432$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.8

Aplique a regra do produto a $\frac{513}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Etapa 8.2.2.9

Eleve $513$ à potência de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Etapa 8.2.2.10

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Etapa 8.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Etapa 8.2.4

Cancele o fator comum de $729$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Fatore $729$ de $10935$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Etapa 8.2.4.2

Fatore $729$ de $263169$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Etapa 8.2.4.3

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Etapa 8.2.4.4

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Etapa 8.2.5

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Fatore $16$ de $256$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Etapa 8.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Etapa 8.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Etapa 8.2.6

Combine $15$ e $\frac{16}{361}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Etapa 8.2.7

Multiplique $15$ por $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Etapa 8.2.8

A resposta final é $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Etapa 8.3

Em $\frac{3}{2}$ , a segunda derivada é $0.66481994$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, 3)$ .

Acréscimo em $(0, 3)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $3.1$ na expressão.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1.1

Eleve $3.1$ à potência de $6$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $887.503681$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.3

Eleve $3.1$ à potência de $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $324$ por $9.61$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2.1.5

Some $- 3550.014724$ e $3113.64$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.2.1

Eleve $3.1$ à potência de $4$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $92.3521$ e $27$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $119.3521$ à potência de $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Etapa 9.2.3

Divida $- 436.374724$ por $14244.92377441$ .

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Etapa 9.3

Em $3.1$ , a segunda derivada é $- 0.0306337$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(3, \infty)$ .

Decréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Etapa 11