Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Etapa 2

Deixe $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Depois, $d u = 4 \sin (t) d t$ , então, $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 4 \cos (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Etapa 2.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4 \cos (t)$ em relação a $t$ é $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

Etapa 2.3.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

Etapa 2.5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 2.5.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

Etapa 2.5.1.3.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Etapa 2.5.2

Some $5$ e $4$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

Etapa 3

Combine $u^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{4}$ e $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{4}}$ com relação a $u$ é $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{4}{5}$ e $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Etapa 7.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Etapa 8.2

Combine.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 8.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{5}$ para o numerador.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Etapa 8.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Etapa 8.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 8.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Etapa 8.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Etapa 8.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Etapa 8.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Etapa 8.5.4

Divida $9^{\frac{5}{4}}$ por $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Forma decimal:

$14.58845726 \dots$