Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} y \sin (x y) d x$

Etapa 1

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$y \int_{1}^{2} \sin (x y) d x$

Etapa 2

Deixe $u = x y$ . Depois, $d u = y d x$ , então, $\frac{1}{y} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x y$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$y$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x y$ .

$u_{lower} = 1 y$

Etapa 2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$u_{lower} = y$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x y$ .

$u_{upper} = 2 y$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = y$

$u_{upper} = 2 y$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$y \int_{y}^{2 y} \sin (u) \frac{1}{y} d u$

Etapa 3

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{y}$ .

$y \int_{y}^{2 y} \frac{\sin (u)}{y} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{y}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{y}$ para fora da integral.

$y (\frac{1}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{y}$ e $y$ .

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Etapa 5.3

Multiplique $\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$ por $1$ .

$\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{y}^{2 y}$

Etapa 7

Avalie $- \cos (u)$ em $2 y$ e em $y$ .

$- \cos (2 y) + \cos (y)$