Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $t^{4}$ de $t^{8} - t^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $t^{4}$ de $t^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $t^{4}$ de $- t^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $t^{4}$ de $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

Etapa 1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.1

Fatore $t^{4}$ de $t^{6}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Etapa 1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

Etapa 1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $t^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

Etapa 2

Multiplique $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $t^{4}$ por $t^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{2} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$\int_{1}^{2} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

Etapa 3.2

Reescreva $- 1 t^{- 2}$ como $- t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} t^{2} - t^{- 2} d t$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} t^{2} d t + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{- 2} d t$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- 2}$ com relação a $t$ é $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{3} t^{3}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 8.2

Avalie $- t^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 - 1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3.6

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{7}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Etapa 8.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1)$

Etapa 8.3.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Etapa 8.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 + 2}{2}$

Etapa 8.3.11

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{7}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.12

Para escrever $\frac{7}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.13

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 8.3.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.14.1

Multiplique $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 8.3.14.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 8.3.14.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.3.14.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Etapa 8.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 \cdot 2 - 3}{6}$

Etapa 8.3.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.16.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{14 - 3}{6}$

Etapa 8.3.16.2

Subtraia $3$ de $14$ .

$\frac{11}{6}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{11}{6}$

Forma decimal:

$1.8\overline{3}$

Forma de número misto:

$1 \frac{5}{6}$

Etapa 10