Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ como $\frac{1}{x (p \ln (x))}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{p}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{p}$ para fora da integral.

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Etapa 3

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{p}$ e $\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

Etapa 6

Avalie $\ln (| u |)$ em $\ln (2)$ e em $0$ .

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

Etapa 7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Etapa 8.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Etapa 9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido