Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{4 y^{2} - 7 y - 12}{y (y + 2) (y - 3)} d y$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $y (y + 2) (y - 3)$ .

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $4 y^{2} - 7 y - 12$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $A ((y + 2) (y - 3))$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A ((y + 2) (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.2

Expanda $(y + 2) (y - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y (y - 3) + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 y + 2 y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.3.2

Some $- 3 y$ e $2 y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + A (- y) + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.5.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.6

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.6.1

Cancele o fator comum.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.6.2

Divida $(B) (y (y - 3))$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + (B) (y (y - 3)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y \cdot y + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.8

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.9

Mova $- 3$ para a esquerda de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} - 3 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.10

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} + B (- 3 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.12

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.12.1

Cancele o fator comum.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.1.7.12.2

Divida $(C) (y (y + 2))$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + (C) (y (y + 2))$

Etapa 1.1.7.13

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Etapa 1.1.7.14

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Etapa 1.1.7.15

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Etapa 1.1.7.16

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Etapa 1.1.7.17

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Etapa 1.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Etapa 1.1.8.2

Reordene $B$ e $y^{2}$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Etapa 1.1.8.3

Mova $B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y$

Etapa 1.1.8.4

Mova $- 6 A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y - 6 A$

Etapa 1.1.8.5

Mova $- 3 y B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} + C y^{2} - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Etapa 1.1.8.6

Mova $- y A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - y A - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = A + B + C$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 12 = - 6 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $- 12 = - 6 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $- 6 A = - 12$ .

$- 6 A = - 12$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2

Divida cada termo em $- 6 A = - 12$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 6 A = - 12$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.3.1

Divida $- 12$ por $- 6$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $4 = A + B + C$ por $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$ por $2$ .

$- 7 = - 1 \cdot 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Etapa 1.3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $4 = 2 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$B + C = 4 - 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 4 - 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Etapa 1.3.3.2.3

Subtraia $2$ de $4$ .

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$ por $2 - C$ .

$- 7 = - 2 - 3 (2 - C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- 2 - 3 (2 - C) + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 = - 2 - 3 \cdot 2 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- 7 = - 2 - 6 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.2.1

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$- 7 = - 8 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2.2

Some $3 C$ e $2 C$ .

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5

Resolva $C$ em $- 7 = - 8 + 5 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a equação como $- 8 + 5 C = - 7$ .

$- 8 + 5 C = - 7$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$5 C = - 7 + 8$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.2.2

Some $- 7$ e $8$ .

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.3

Divida cada termo em $5 C = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.1

Divida cada termo em $5 C = 1$ por $5$ .

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Etapa 1.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $\frac{1}{5}$ em cada equação.

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Etapa 1.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 2 - C$ por $\frac{1}{5}$ .

$B = 2 - (\frac{1}{5})$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.6.2.1

Simplifique $2 - (\frac{1}{5})$ .

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Etapa 1.3.6.2.1.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$B = 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Etapa 1.3.6.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$B = \frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Etapa 1.3.6.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Etapa 1.3.6.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.2.1.4.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$B = \frac{10 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Etapa 1.3.6.2.1.4.2

Subtraia $1$ de $10$ .

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Etapa 1.3.7

Liste todas as soluções.

$B = \frac{9}{5}, C = \frac{1}{5}, A = 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{y} + \frac{\frac{9}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{9}{5}$ por $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{y - 3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Etapa 5

Como $\frac{9}{5}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{9}{5}$ para fora da integral.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y + 2} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 6.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u_{1} = y + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Etapa 6.3

Some $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u_{1} = y + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Etapa 6.5

Some $2$ e $2$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Etapa 8

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y - 3} d y$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = y - 3$ . Depois, $d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = y - 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 9.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u_{2} = y - 3$ .

$u_{lower} = 1 - 3$

Etapa 9.3

Subtraia $3$ de $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Etapa 9.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u_{2} = y - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Etapa 9.5

Subtraia $3$ de $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 9.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 9.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\ln (| y |)$ em $2$ e em $1$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 11.2

Avalie $\ln (| u_{1} |)$ em $4$ e em $3$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Etapa 11.3

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 11.4

Remova os parênteses.

$2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 12.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 12.3

Combine $\frac{9}{5}$ e $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 12.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Etapa 12.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$2 \ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Etapa 13.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$2 \ln (\frac{2}{1}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Etapa 13.3

Divida $2$ por $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Etapa 13.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Etapa 13.5

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Etapa 13.6

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{5}$

Etapa 13.7

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Forma decimal:

$1.76549265 \dots$

Etapa 15