Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x^{2} - x$ . Depois, $d u = (6 x - 1) d x$ , então, $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x^{2} - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 x - 1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Etapa 1.5.2

Subtraia $2$ de $12$ .

$u_{upper} = 10$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $10$ e em $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $10$ é $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

Etapa 5.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

Etapa 5.3

Divida $10$ por $2$ .

$\ln (5)$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (5)$

Forma decimal:

$1.60943791 \dots$

Etapa 7