Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} {(2 x - 1)}^{4} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 3 - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$u_{upper} = 6 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{5} u^{4} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $u^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{4}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{4} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{5}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{5} u^{5}$ em $5$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $3125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $3125$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $5$ de $3125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2.3.2.4

Divida $625$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Etapa 5.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5})$

Etapa 5.2.6

Para escrever $625$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Etapa 5.2.7

Combine $625$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5})$

Etapa 5.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 \cdot 5 - 1}{5}$

Etapa 5.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Multiplique $625$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3125 - 1}{5}$

Etapa 5.2.9.2

Subtraia $1$ de $3125$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3124}{5}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3124}{5}$ .

$\frac{3124}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.2.11

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{3124}{10}$

Etapa 5.2.12

Cancele o fator comum de $3124$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.12.1

Fatore $2$ de $3124$ .

$\frac{2 (1562)}{10}$

Etapa 5.2.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.12.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 1562}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.2.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1562}{2 \cdot 5}$

Etapa 5.2.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1562}{5}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1562}{5}$

Forma decimal:

$312.4$

Forma de número misto:

$312 \frac{2}{5}$

Etapa 7