Cálculo Exemplos

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y$

Etapa 1

Deixe $u = y^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = y^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C$