Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Etapa 1

Como $9$ é constante com relação a $r$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (r)$ e $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Etapa 3.2

Combine $\ln (r)$ e $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{r^{4}}{4}$ por $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $r^{4}$ e $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $r$ de $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $r$ de $4 r$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $r$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $r^{3}$ com relação a $r$ é $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Etapa 6.1.2

Combine $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Avalie $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ em $3$ e em $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Etapa 6.2.2

Avalie $\frac{r^{4}}{4}$ em $3$ e em $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.2

Mova $81$ para a esquerda de $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.4

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.8

Subtraia $1$ de $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.9

Cancele o fator comum de $80$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.9.1

Fatore $4$ de $80$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Etapa 6.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Etapa 6.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Etapa 6.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Etapa 6.2.3.9.2.4

Divida $20$ por $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Etapa 6.2.3.10

Cancele o fator comum de $20$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.10.1

Fatore $4$ de $20$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Etapa 6.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.10.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Etapa 6.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Etapa 6.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Etapa 6.2.3.10.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Etapa 6.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Etapa 7.3

Some $81 \ln (3)$ e $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Etapa 7.5

Multiplique $9$ por $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Etapa 7.6

Multiplique $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Combine $9$ e $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Etapa 7.6.2

Multiplique $81$ por $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Forma decimal:

$155.22208960 \dots$