Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} \frac{12 \ln^{5} (x)}{x} d x$

Etapa 1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{5} (x)}{x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$12 \int_{0}^{\ln (4)} u^{5} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$12 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\ln (4)})$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$12 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\ln (4)})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{u^{6}}{6}$ em $\ln (4)$ e em $0$ .

$12 ((\frac{\ln^{6} (4)}{6}) - \frac{0^{6}}{6})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{6})$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $6$ de $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 (0)}{6})$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{1})$

Etapa 5.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - 0)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} + 0)$

Etapa 5.2.4

Some $\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ e $0$ .

$12 \frac{\ln^{6} (4)}{6}$

Etapa 5.2.5

Combine $12$ e $\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ .

$\frac{12 \ln^{6} (4)}{6}$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Fatore $6$ de $12 \ln^{6} (4)$ .

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6}$

Etapa 5.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 (1)}$

Etapa 5.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 \cdot 1}$

Etapa 5.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \ln^{6} (4)}{1}$

Etapa 5.2.6.2.4

Divida $2 \ln^{6} (4)$ por $1$ .

$2 \ln^{6} (4)$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \ln^{6} (4)$

Forma decimal:

$14.19589361 \dots$