Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} {(3 x + 2)}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x + 2$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x + 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 + 2$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 + 2$

Etapa 1.3.2

Some $3$ e $2$ .

$u_{lower} = 5$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x + 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 2$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$u_{upper} = 12 + 2$

Etapa 1.5.2

Some $12$ e $2$ .

$u_{upper} = 14$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 14$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{5}^{14} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $u^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{5}^{14} \frac{u^{2}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{5}^{14} u^{2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{5}^{14}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $14$ e em $5$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $14$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2744$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Etapa 5.2.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 125)$

Etapa 5.2.4

Multiplique $125$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - 125 (\frac{1}{3}))$

Etapa 5.2.5

Combine $- 125$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} + \frac{- 125}{3})$

Etapa 5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{125}{3})$

Etapa 5.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2744 - 125}{3}$

Etapa 5.2.8

Subtraia $125$ de $2744$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2619}{3}$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $2619$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Fatore $3$ de $2619$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3}$

Etapa 5.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 (1)}$

Etapa 5.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{873}{1}$

Etapa 5.2.9.2.4

Divida $873$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 873$

Etapa 5.2.10

Combine $\frac{1}{3}$ e $873$ .

$\frac{873}{3}$

Etapa 5.2.11

Cancele o fator comum de $873$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.11.1

Fatore $3$ de $873$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3}$

Etapa 5.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 291}{3 (1)}$

Etapa 5.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 291}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{291}{1}$

Etapa 5.2.11.2.4

Divida $291$ por $1$ .

$291$

Etapa 6