Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{3} 8 x (x^{2} - 5) d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} - 5$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} - 5$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 5$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 5$

Etapa 1.3.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} - 5$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 5$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 9 - 5$

Etapa 1.5.2

Subtraia $5$ de $9$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 4$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{4} 4 u d u$

Etapa 2

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{- 1}^{4} u d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{4})$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{4})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $4$ e em $- 1$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.2.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$4 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$4 (8 - \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.4

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.5

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 5.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$4 \frac{16 - 1}{2}$

Etapa 5.2.7.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$4 (\frac{15}{2})$

Etapa 5.2.8

Combine $4$ e $\frac{15}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{2}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $4$ por $15$ .

$\frac{60}{2}$

Etapa 5.2.10

Cancele o fator comum de $60$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.1

Fatore $2$ de $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2}$

Etapa 5.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)}$

Etapa 5.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{30}{1}$

Etapa 5.2.10.2.4

Divida $30$ por $1$ .

$30$

Etapa 6