Cálculo Exemplos

$\int_{- 2}^{2} 36^{\frac{x}{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 1.3

Divida $- 2$ por $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{2}$

Etapa 1.5

Divida $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot (1 \cdot 2) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot 2 d u$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $36^{u}$ .

$\int_{- 1}^{1} 2 \cdot 36^{u} d u$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{- 1}^{1} 36^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $36^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36^{u}}{\ln (36)}]_{- 1}^{1})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ em $1$ e em $- 1$ .

$2 ((\frac{36^{1}}{\ln (36)}) - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie o expoente.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)})$

Etapa 5.2.3

Reescreva $\frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)}$ como um produto.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - (\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{\ln (36)}))$

Etapa 5.2.4

Multiplique $\frac{1}{36}$ por $\frac{1}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Forma decimal:

$20.07647948 \dots$

Etapa 7