Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Etapa 2

Aplique a regra da constante.

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - 0.4 x$ . Depois, $d u = - 0.4 d x$ , então, $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - 0.4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- 0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

Etapa 4.1.2

Como $- 0.4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.4 x$ em relação a $x$ é $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.4 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 0.4$ por $1$ .

$- 0.4$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 0.4 x$ .

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

Etapa 4.3

Multiplique $- 0.4$ por $2$ .

$u_{lower} = - 0.8$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 0.4 x$ .

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

Etapa 4.5

Multiplique $- 0.4$ por $3$ .

$u_{upper} = - 1.2$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

Etapa 5.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.4}$ .

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{0.4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.4}$ para fora da integral.

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{0.4}$ e $- 2$ .

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Etapa 9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $x$ em $3$ e em $2$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Etapa 11.2

Avalie $e^{u}$ em $- 1.2$ e em $- 0.8$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

Etapa 11.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Divida $2$ por $0.4$ .

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Etapa 12.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Etapa 12.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

Etapa 12.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

Etapa 12.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Etapa 12.2.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{e^{1.2}}$ .

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Etapa 12.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Etapa 12.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

Etapa 12.2.5

Combine $5$ e $\frac{1}{e^{0.8}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Forma decimal:

$1.74067376 \dots$

Etapa 14