Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 2

Como $0.1$ é constante com relação a $a$ , mova $0.1$ para fora da integral.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 3

Deixe $u = - 0.1 a$ . Depois, $d u = - 0.1 d a$ , então, $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = - 0.1 a$ . Encontre $\frac{d u}{d a}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

Etapa 3.1.2

Como $- 0.1$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- 0.1 a$ em relação a $a$ é $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 0.1$ por $1$ .

$- 0.1$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $a$ em $u = - 0.1 a$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

Etapa 3.3

Multiplique $- 0.1$ por $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $a$ em $u = - 0.1 a$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

Etapa 3.5

Multiplique $- 0.1$ por $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 7

Como $\frac{1}{0.1}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.1}$ para fora da integral.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{0.1}$ e $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 0.1$ e $0.1$ .

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Etapa 8.2.1

Reescreva $- 0.1$ como $- 1 (0.1)$ .

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 8.2.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Etapa 10

Como $2$ é constante com relação a $a$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{a}$ com relação a $a$ é $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $e^{u}$ em $- 0.3$ e em $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Etapa 12.2

Avalie $\ln (| a |)$ em $3$ e em $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

Etapa 12.3

Remova os parênteses.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

Etapa 13

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Etapa 14.3

Multiplique $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

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Etapa 14.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Etapa 14.3.2

Multiplique $\frac{1}{e^{0.2}}$ por $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Etapa 14.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Etapa 14.5

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 14.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.88884274 \dots$

Etapa 16