Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Mova $u^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

Etapa 2

Multiplique $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

Etapa 3

Multiplique $u^{2}$ por $u^{- 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 3}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Etapa 7.2

Mova $u^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Etapa 8

A integral de $u^{- 1}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1.1

Avalie $- \frac{1}{2 u^{2}}$ em $3$ e em $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Etapa 9.1.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $3$ e em $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

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Etapa 9.1.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.5

Para escrever $- \frac{1}{18}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.6

Para escrever $\frac{1}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $72$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.1.3.7.1

Multiplique $\frac{1}{18}$ por $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.7.2

Multiplique $18$ por $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.7.3

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.7.4

Multiplique $8$ por $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.9

Some $- 4$ e $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.10

Combine $2$ e $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.11

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.12

Cancele o fator comum de $10$ e $72$ .

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Etapa 9.1.3.12.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.12.2.1

Fatore $2$ de $72$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.1.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

Etapa 9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Etapa 9.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.54435399 \dots$

Etapa 11