Cálculo Exemplos

$\int 12 \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Etapa 1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $12$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 5.2.2

Multiplique $12$ por $3$ .

$\frac{36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $36$ e $4$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $4$ de $36$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 5.2.3.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$9 {\sin (x)}^{\frac{4}{3}} + C$