Cálculo Exemplos

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Etapa 1

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Reescreva $6$ como $4$ mais $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sec (x)}^{4 + 2}$ como $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 2.3

Fatore $2$ de $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 2.4

Reescreva ${\sec (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Etapa 4

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Etapa 5

Expanda $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva ${(1 + u^{2})}^{2}$ como $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.8

Mova $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.9

Reordene $u^{4}$ e $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.10

Reordene $u^{2}$ e $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.11

Reordene $u^{4}$ e $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Etapa 5.12

Multiplique $1$ por $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.13

Multiplique $u^{4}$ por $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.14

Multiplique $u^{4}$ por $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.16

Some $4$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.17

Multiplique $u^{4}$ por $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.19

Some $4$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Etapa 5.21

Some $4$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Etapa 5.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Etapa 5.23

Some $6$ e $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Etapa 5.24

Some $u^{6}$ e $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Etapa 5.25

Reordene $2 u^{6}$ e $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Etapa 5.26

Mova $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{8}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Etapa 11.1.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Etapa 11.1.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Etapa 11.2

Simplifique.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$