Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

Etapa 1

Divida a fração em diversas frações.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Etapa 3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 6

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Etapa 6.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Etapa 6.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $e$ e em $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Etapa 9.2

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 9.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 9.3.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 9.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

Etapa 9.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 9.3.5

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

Etapa 11.3

Divida $e$ por $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Etapa 12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 1}{2}$

Etapa 12.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$