Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

Etapa 6.1.2

Combine $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ e $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Etapa 6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Avalie $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ em $e$ e em $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Etapa 6.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $e$ e em $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Etapa 6.2.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Etapa 6.2.3.4

Multiplique $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

Etapa 6.2.3.5

Combine.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.3.7.1

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.7.2

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.9

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.10

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 6.2.3.10.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.10.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

Etapa 6.2.3.11

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

Etapa 6.2.3.12

Para escrever $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 6.2.3.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.3.13.1

Multiplique $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 6.2.3.13.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 6.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 6.2.3.15

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (e) e^{3}$ .

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 7.1.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 7.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 7.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 7.1.1.5

Subtraia $e^{3}$ de $3 e^{3}$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Etapa 7.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

Etapa 7.1.3

Divida $0$ por $3$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

Etapa 7.2

Some $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ e $0$ .

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Etapa 7.3.2

Fatore $3$ de $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 7.3.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 7.3.4

Reescreva a expressão.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

Etapa 7.4

Combine $2$ e $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ .

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Forma decimal:

$27.44738256 \dots$