Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Etapa 1

Reescreva $\ln (x^{2})$ como $2 \ln (x)$ .

$\int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\ln (x) x$ em $e$ e em $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Etapa 6.2

Avalie $x$ em $e$ e em $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 7.1.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Etapa 7.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$2 (e - 0 - (e - 1))$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (e + 0 - (e - 1))$

Etapa 7.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (e + 0 - e - - 1)$

Etapa 7.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (e + 0 - e + 1)$

Etapa 7.2

Some $e$ e $0$ .

$2 (e - e + 1)$

Etapa 7.3

Subtraia $e$ de $e$ .

$2 (0 + 1)$

Etapa 7.4

Some $0$ e $1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$