Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 9$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 1.1.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 9$ .

$u_{lower} = 1 - 9$

Etapa 1.3

Subtraia $9$ de $1$ .

$u_{lower} = - 8$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Etapa 1.5

Subtraia $9$ de $9$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 2.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ em $0$ e em $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.6

Reescreva $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.8.1

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.8.2

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Etapa 4.2.9

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Etapa 4.2.10

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

Etapa 4.2.11

Combine $- 4$ e $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Etapa 4.2.12

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$0 + \frac{- 12}{2}$

Etapa 4.2.13

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

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Etapa 4.2.13.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Etapa 4.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.13.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Etapa 4.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 6}{1}$

Etapa 4.2.13.2.4

Divida $- 6$ por $1$ .

$0 - 6$

Etapa 4.2.14

Subtraia $6$ de $0$ .

$- 6$

Etapa 5