Cálculo Exemplos

$\int 1 + \cos^{2} (t) d t$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d t + \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 2

Aplique a regra da constante.

$t + C + \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 3

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$t + C + \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$t + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$t + C + \frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 7

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 8

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 10

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 11

Simplifique.

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 t)$ .

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Etapa 13.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $t$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

Etapa 13.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 t)}{2}$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 13.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{4} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin (2 t) + C$