Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} - e^{- x} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{6} \frac{9}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Etapa 2

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - e^{- x} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{1}^{6} e^{- x} d x$

Etapa 5

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 6$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$u_{upper} = - 6$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 6$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - \int_{- 1}^{- 6} - e^{u} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) - - \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + 1 \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $\int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$ por $1$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + \int_{- 1}^{- 6} e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$9 (\ln (| x |)]_{1}^{6}) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $6$ e em $1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{u}]_{- 1}^{- 6}$

Etapa 9.2

Avalie $e^{u}$ em $- 6$ e em $- 1$ .

$9 ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 1 |)) + (e^{- 6}) - e^{- 1}$

Etapa 9.3

Remova os parênteses desnecessários.

$9 (\ln (| 6 |) - \ln (| 1 |)) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$9 \ln (\frac{| 6 |}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $6$ é $6$ .

$9 \ln (\frac{6}{| 1 |}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$9 \ln (\frac{6}{1}) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Etapa 11.3

Divida $6$ por $1$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - e^{- 1}$

Etapa 11.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$9 \ln (6) + e^{- 6} - \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$15.76043453 \dots$

Etapa 13