Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{64} \frac{3 + \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{64} \frac{3 + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{64} (3 + x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.3

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.4

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Etapa 5.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.5.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Etapa 5.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}} d x$

Etapa 5.5.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}} d x$

Etapa 5.5.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{6} - \frac{3}{6}} d x$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 3}{6}} d x$

Etapa 5.7

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1}{6}} d x$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{64} 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \int_{1}^{64} x^{- \frac{1}{6}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{6}}$ com relação a $x$ é $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{64}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $2 x^{\frac{1}{2}}$ em $64$ e em $1$ .

$3 ((2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}]_{1}^{64}$

Etapa 11.2

Avalie $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ em $64$ e em $1$ .

$3 (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.3.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.4

Avalie o expoente.

$3 (2 \cdot 8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $2$ por $8$ .

$3 (16 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 (16 - 2 \cdot 1) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$3 (16 - 2) + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.8

Subtraia $2$ de $16$ .

$3 \cdot 14 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.9

Multiplique $3$ por $14$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 64^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.10

Reescreva $64$ como $2^{6}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot {(2^{6})}^{\frac{5}{6}} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.11

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.12

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 11.3.12.1

Cancele o fator comum.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{6 (\frac{5}{6})} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.12.2

Reescreva a expressão.

$42 + \frac{6}{5} \cdot 2^{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.13

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$42 + \frac{6}{5} \cdot 32 - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.14

Combine $\frac{6}{5}$ e $32$ .

$42 + \frac{6 \cdot 32}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.15

Multiplique $6$ por $32$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1^{\frac{5}{6}}$

Etapa 11.3.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5} \cdot 1$

Etapa 11.3.17

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$42 + \frac{192}{5} - \frac{6}{5}$

Etapa 11.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$42 + \frac{192 - 6}{5}$

Etapa 11.3.19

Subtraia $6$ de $192$ .

$42 + \frac{186}{5}$

Etapa 11.3.20

Para escrever $42$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$42 \cdot \frac{5}{5} + \frac{186}{5}$

Etapa 11.3.21

Combine $42$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 5}{5} + \frac{186}{5}$

Etapa 11.3.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{42 \cdot 5 + 186}{5}$

Etapa 11.3.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.23.1

Multiplique $42$ por $5$ .

$\frac{210 + 186}{5}$

Etapa 11.3.23.2

Some $210$ e $186$ .

$\frac{396}{5}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{396}{5}$

Forma decimal:

$79.2$

Forma de número misto:

$79 \frac{1}{5}$

Etapa 13